La «conjetura de Sheldon»

Descubierta una nueva propiedad de los números primos gracias a la serie The Big Bang Theory.

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Dos matemáticos demuestran la «conjetura de Sheldon», una propiedad de los números primos enunciada hace unos años por el carismático protagonista de la serie estadounidense. [ACCEDER AL PDF]

El episodio número 73 de la serie The Big Bang Theory es desde hace tiempo especial para los matemáticos. «¿Cuál es el mejor número de todos?», pregunta Sheldon a Raj, Howard y Leonard. «Por cierto, solo hay una respuesta correcta», les advierte. «El mejor número es el 73», acaba contestando el brillante pero impertinente físico.

La explicación que sigue es un festín para los amantes de los números:

«El 73 es el 21.er número primo. Al invertir sus cifras obtenemos 37, que es el primo número 12. Y al invertir este obtenemos 21, que es el producto de —agarraos fuerte— 7 y 3».

Pero lo que provocó la risa en los otros personajes de la serie y en muchos espectadores hizo reflexionar a los matemáticos. ¿Existen otros «primos de Sheldon» con esas características?

Ahora, el experto en teoría de números Carl Pomerance, de la Universidad Dartmouth en Nuevo Hampshire, y el matemático Christopher Spicer, de la Universidad Morningside en Iowa, han dado con la respuesta: en efecto, el 73 es el único número primo que satisface todas las características descritas por Sheldon. Los investigadores han plasmado su demostración en un artículo que se publicará próximamente en la revista American Mathematical Monthly.

En 2015, cinco años después de la emisión del episodio, Spicer y otros dos investigadores introdujeron la definición de «primo de Sheldon»: el n-ésimo número primo pnserá un primo de Sheldon si cumple que el producto de sus dígitos es n y si, además, el número que se obtiene al invertir sus cifras, rev(pn), es el rev(n)-ésimo número primo; es decir, si rev(pn)=prev(n). En términos algo más sencillos, si abcd es el xyz-ésimo número primo (cada letra es aquí un dígito), diremos que abcd es un primo de Sheldon si cumple que a×b×c×d = xyz y si, además, dcba es el zyx-ésimo número primo.

Spicer y sus colaboradores se dispusieron a comprobar si tales condiciones se cumplían para los primeros diez millones de primos. Al hacerlo, hallaron que solo el 73 satisfacía ambas propiedades a la vez. Eso les llevó a conjeturar que el 73 sería el único primo de Sheldon. No obstante, la prueba final de Pomerance y Spicer aún tardaría varios años en llegar.

En el nuevo trabajo, los matemáticos comienzan observando que no puede existir ningún primo de Sheldon mayor que 1045. Esta conclusión se deduce de un famoso resultado de 1896 conocido como «teorema de los números primos», el cual permite acotar la cantidad mínima de números primos que puede haber en un intervalo dado. Dicho teorema implica que unas de las condiciones de Sheldon —que el producto de los dígitos de pn dé como resultado n— ya no puede cumplirse para números mayores que 1045. Ello se debe a que, si pn es mayor que 1045, el número n de primos comprendidos en el intervalo [2, pn] siempre será mayor que el producto de los dígitos de pn.

Dicha conclusión constituye uno de los puntos centrales del trabajo, ya que, aunque 1045 sea un número inimaginablemente grande, se trata de una cantidad finita. Eso significa que, al menos en principio, bastaría con usar un ordenador para examinar sistemáticamente todos los números primos comprendidos entre 2 y 1045 y comprobar si entre ellos hay o no otros primos de Sheldon.

No obstante, algo así continúa siendo impracticable si no se dispone de ningún truco para simplificar el problema: un algoritmo capaz de analizar números de 45 dígitos constituye todo un reto incluso para las mejores máquinas. Así las cosas, Pomerance y Spicer fueron reduciendo el número de candidatos mediante varias técnicas, como el uso de integrales para aproximar números primos extremadamente grandes. De esta manera consiguieron reducir gradualmente el número de posibilidades hasta que, al final, solo quedó el 73.

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Cuando David Saltzberg, físico y asesor científico de The Big Bang Theory, se enteró de la demostración de los investigadores, decidió rendirles un pequeño homenaje: en un episodio emitido en abril de este año hay una escena en la que al fondo aparece una pizarra y, si el espectador se fija con atención, podrá ver en ella algunos de los cálculos de la demostración de Pomerance y Spicer. «Es como un espectáculo dentro de un espectáculo», ha comentado Pomerance en declaraciones recogidas por la Universidad Dartmouth. «No tiene nada que ver con la trama del episodio. Aparece al fondo y es difícil de ver. Pero si sabes lo que buscas, descubres nuestro artículo.»

Referencia: «Proof of the Sheldon Conjecture». Carl Pomerance y Chris Spicer en American Mathematical Monthly (en prensa).


FUENTE: Investigación y Ciencia

‘Resolver’ la hipótesis de Riemann

Anuncian la solución de la hipótesis de Riemann, el enigma matemático que podría revolucionar internet | Ciencia
Michael F. Atiyah

Los días pasados un terremoto recorría el mundo matemático: este lunes, 24 de septiembre, Sir Michael Atiyah, uno de los matemáticos más laureados y respetados de la historia anunciaba en el abstract de su conferencia en el Heildelberg Laureate Forum, que había demostrado de una manera sencilla la hipótesis de Riemann.

El abstract decía textualmente: »Es un conocido problema matemático sin resolver desde el año 1859. Yo presentaré una prueba simple utilizando una perspectiva radicalmente nueva. Está basada en los trabajos de Von Neumann (1936), Hirzebruch (1954) y Dirac (1928)». Su presentación apenas duró 45 minutos, estuvo basada en una única diapositiva de PowerPoint y el trabajo científico (ACCEDER) en el que se detallan los pormenores y que ya ha sido enviado para su revisión a la revista Proceedings of the Royal Society A sólo tiene cinco páginas.

Si el anuncio fuese de otra persona, el revuelo no hubiera sido de esta envergadura, pero Michael Francis Atiyah, de 89 años, es medallista Fields en 1966 y Premio Abel en 2004 (entre otras muchas distinciones). La duda sobre esta supuesta prueba surgió enseguida, aludiendo a su edad y a otros anuncios fallidos previos, y también a la singularidad de la ocasión, cuando hace poco más de un mes, Atiyah impartió una conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticos de Río de Janeiro.

¿Y qué dice esta famosa conjetura?

Resultado de imagen de hipótesis de Riemann

Viene de una de esas extrañas relaciones internas de las matemáticas, entre los números primos y una función entre los números complejos llamada precisamente función zeta de Riemann, de manera que los ceros de esta función (los valores donde se anula) tienen todos parte real 1/2. Así que probar la conjetura de Riemann nos da una buena idea de cómo se distribuyen los números primos, que sabemos desde Euclides que son infinitos. Y los números primos son los ladrillos con los que se construyen todos los demás, piezas claves en muchas aplicaciones como en la criptografía.

Las pistas que daba Atiyah en su abstract, se referían a tres trabajos: el de John von Neumann titulado ‘On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism‘, esencial para la formulación matemática de la mecánica cuántica; uno segundo titulado ‘Arithmetic genera and the Theorem of Riemann-Roch‘, clásico en geomería algebraica, escrito por el matemático alemán Hirzebruch, y cuyo resultado principal está basado en la teoría del cobordismo de René Thom; y otra obra clásica del premio Nobel P.A.M. Dirac, ‘The Quantum Theory of the Electron’, en el que introduce la ecuación de onda del electrón unificando la mecánica cuántica y la relatividad especial.

Sólo un genio como Atiyah podría ser capaz de presentar un abstract basado en estas tres piezas maestras de tres maestros y decirnos que así ha probado de manera sencilla la hipótesis de Riemann. Sin embargo, tras una muestra de erudición matemática y física (implicando incluso a la famosa constante de estructura fina de Arnold Sommerfeld), nos hemos quedado con la miel en los labios. Atiyah usa la función de Todd (llamada sí en honor de su antiguo profesor John Arthur Todd) para obtener una contradicción, pero las dudas surgen. Por una parte, hay cuestiones técnicas sobre las funciones implicadas, y por otra, da la impresión de ser un argumento circular. En cualquier caso, esta presentación ha servido para remover el interés sobre las matemáticas y esta extraordinaria conjetura, uno de los problemas del milenio. Sabremos más en los próximos días sobre la veracidad o no de la prueba de Atiyah.