Planilandia : una novela de muchas dimensiones. 

Edwin A. Abbott. Planilandia : una novela de muchas dimensiones . Jose Olañeta Editor, 2008.

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Esta obra se la dedica
A
Los habitantes del ESPACIO EN GENERAL
Y a H. C. EN PARTICULAR
Un humilde nativo de Planilandia,
Con la esperanza de que
Aunque fue iniciado en los misterios
De las TRES dimensiones
Habiendo estado familiarizado previamente
Con SÓLO DOS
Los ciudadanos de esa región celeste puedan
Aspirar a elevarse más y más
Hasta los secretos de CUATRO, CINCO O HASTA SEIS dimensiones
Contribuyendo así A ampliar LA IMAGINACIÓN
Y al posible desarrollo
Del rarísimo y excelentísimo don de la MODESTIA
Entre las razas superiores
De la HUMANIDAD SÓLIDA

Con esta maravillosa dedicatoria da comienzo un clásico de la ciencia ficción que tiene esa rara virtud de que, aún a pesar de que han pasado por ella 125 años, sigue siendo tan actual como cuando fue escrita por Edwin A. Abbott, un longevo teólogo y matemático nacido en la Inglaterra de mediados del siglo XIX, bajo el seudónimo de A. Square (un cuadrado).

Edwin A. Abbott,

Edwin Abbott abogaba por conseguir la total emancipación de la mujer y otorgarle una igualdad universal frente al hombre, del mismo modo, defendía la instauración de una democracia popular basada el sufragio universal para derrocar la lacra de una clase social dirigente. Estos principios aparecen esbozados con mimo en el relato.

Planilandia es un mundo de dos dimensiones, en el que sus habitantes (figuras geométricas planas) son incapaces de mirar hacia arriba o hacia abajo para darse cuenta de sus limitaciones. La élite dominante, una clase superior plenamente autosatisfecha, impone esta estrechez de miras y castiga a cualquiera que cuestione la jerarquía social o que hable de una tercera dimensión.

Las desigualdades son los cimientos de la estratificada sociedad de Planilandia. Las mujeres representan el escalafón más bajo, no tienen derecho a la educación, son tontas e impulsivas y es necesario hablarles en un idioma más simple y emocional para poder comunicarse con ellas, están representadas por líneas (es decir, por una dimensión menos que el resto de habitantes de este mundo).

Por encima de ellas se sitúan los triángulos: los isósceles son obreros y soldados de muy baja consideración, con frecuencia son usados como cobayas de laboratorio y ejecutados cuando existe una remota sospecha de delito; los equiláteros conforman una clase media-baja correspondiente a los artesanos y comerciantes.

Cuando un hombre se reproduce, su descendiente tiene un lado más que él, mejorando su linaje dentro de la escala social, así aparece un tercer escalón  constituido por cuadrados y pentágonos que representan a una clase media-alta, entre ellos encontramos a científicos, abogados, etc.

El vértice de la pirámide está compuesto por la clase noble, polígonos de seis o más lados, sobre los cuales impera la ley impuesta por los círculos, que adoptan el papel de sumos sacerdotes. Fuera de esta jerarquía se encuentran los deformes “irregulares” que tienen ángulos o lados diferentes y que son sacrificados al nacer o aislados de la sociedad.

La historia es narrada por un humilde cuadrado que, tras visitar en sueños los mundos de cero y una dimensiones, se da cuenta de que resulta imposible hacer que  los habitantes de estos mundos abran su mente para aceptar a un ser como él, de dos dimensiones. Estas visitas le hacen reflexionar y plantearse que, quizás, él mismo esté siendo tan obtuso como los personajes que ha conocido, pues jamás valoró la posibilidad de que pudiera existir un mundo de más de dos dimensiones.

En 2007 se rodó una película titulada Flatland [VER AQUÍ] basada en la novela, animada por ordenador por Ladd Ehlinger Jr. en Lightwave 3D; el guión fue escrito por Tom Whalen y la banda sonora compuesta por Mark Slater.

Fuente: Matemáticas cercanas

Álgebras de cuaterniones.

Voight, John. Quaternion Algebras. Springer Nature, 2021.

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Este libro presenta un tratamiento exhaustivo de la teoría aritmética de las álgebras y órdenes de cuaterniones, un tema con aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas.

Dividido en cinco partes, el libro comienza con una introducción básica al álgebra no conmutativa subyacente a la teoría de las álgebras de cuaterniones sobre campos, incluyendo la relación con las formas cuadráticas. A continuación, se profundiza en la aritmética de las álgebras de cuaterniones y los órdenes. La tercera parte considera los aspectos analíticos, comenzando con las funciones zeta y pasando luego a un enfoque idélico, ofreciendo un camino de lo local a lo global que incluye la aproximación fuerte. Siguen aplicaciones de los grupos unitarios de órdenes de cuaterniones a la geometría hiperbólica y a la topología de baja dimensión, relacionando las propiedades geométricas y topológicas con los invariantes aritméticos. La geometría aritmética completa el volumen, incluyendo los aspectos cuaterniónicos de las formas modulares, las curvas elípticas supersingulares y los módulos de las superficies abelianas QM.

Quaternion Algebras abarca una gran riqueza de conocimientos en la intersección de muchos campos. Los estudiantes de posgrado interesados en el álgebra, la geometría y la teoría de números apreciarán las numerosas vías y conexiones que se pueden explorar. Los profesores encontrarán numerosas opciones para construir cursos introductorios y avanzados, mientras que los investigadores valorarán el tratamiento integral. Se supone que los lectores están familiarizados con la teoría algebraica de los números y el álgebra conmutativa, así como con los fundamentos del álgebra lineal, la topología y el análisis complejo. Los temas más avanzados requieren conocimientos adicionales, como se indica, aunque los conceptos esenciales y la motivación se recapitulan a lo largo del libro.

Anisotropía a través de campos y escalas.

Anisotropy Across Fields and Scales. Evren Özarslan ; Thomas Schultz ; Eugene Zhang ; Andrea Fuster (eds.) Springer Nature, 2021. DOI 10.1007/978-3-030-56215-1

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La anisotropía (opuesta de isotropía) es la propiedad general de la materia según la cual cualidades como elasticidad, temperatura, conductividad, velocidad de propagación de la luz, etc., varían según la dirección en que son examinadas. 

Este libro de acceso abierto se centra en el procesamiento, el modelado y la visualización de la información de anisotropía, que a menudo se abordan mediante el empleo de sofisticadas construcciones matemáticas como los tensores y otros descriptores de orden superior. También se discuten las adaptaciones de tales construcciones a los problemas encontrados en áreas aparentemente disímiles de la imagen médica, las ciencias físicas y la ingeniería. Con contribuciones originales de investigación y revisiones perspicaces para los científicos interesados en el manejo de la información de anisotropía, cubre temas como las propiedades geométricas y algebraicas pertinentes de los tensores y los campos de tensores, los desafíos que se enfrentan en el procesamiento y la visualización de diferentes tipos de datos, las técnicas estadísticas para el procesamiento de datos y aplicaciones específicas como el mapeo de los tractos de fibras de materia blanca en el cerebro.

El libro ayuda a los lectores a comprender los retos actuales en este campo y proporciona información sobre las técnicas concebidas para abordarlos. Además, facilita la transferencia de conocimientos entre diferentes disciplinas para hacer avanzar las fronteras de la investigación en estas áreas.

Iteración de polinomios y funciones racionales.

Poirier Schmitz, Alfredo. Iteración de polinomios y funciones racionales. Pontificia Universidad Católica del Perú. Fondo Editorial, 2016. ISBN 9786123171544.

TEXTO COMPLETO

Texto introductorio sobre la iteración de funciones racionales, ideas geométricas, y el lenguaje de los sistemas dinámicos

  1. Prerrequisitos mínimos del análisis complejo
  2. Funciones propias y espacios de recubrimiento: Un curso relámpago en espacios de recubrimiento
  3. Familias normales : Una prueba del teorema de Montel
  4. Preliminares de sistemas dinámicos: El cambio de variables como herramienta de los sistemas dinámicos
  5. Conceptos básicos de dinámica polinomial
  6. Iteración de funciones racionales
  7. Puntos periódicos
  8. El método de Newton
  9. Una primera ojeada al conjunto de Julia
  10. Discos de Siegel y puntos de Cremer
  11. Orbitas atractoras
  12. Cuencas parabólicas
  13. Densidad de puntos periódicos en el conjunto de Julia
  14. Productos de Blaschke
  15. Componentes periódicas simplemente conexas
  16. Componentes críticas periódicas
  17. La estructura del conjunto de Fatou
  18. El conjunto de Mandelbrot

La Galaxia Musical : el Teorema de Thales

Bienvenido a La Galaxia Musical. 

Escucha y disfruta!!


Teorema de Thales Les Luthiers - Matemáticas en tu mundo
Hace unos días, el cómico Marcos Mundstock, miembro de Les Luthiers, falleció a los 77 años en Buenos Aires. Mundstock era el narrador de muchos de los sketches del grupo y uno de sus miembros más reconocibles. Este es nuestro homenaje «científico». 

Esto es lo que dice el propio autor sobre la historia de esta obra: «Tenía 19 años y cursaba mi segundo año de Facultad, cuando una vez, frente a un intrincado enunciado de Análisis Matemático (esos descubiertos por sabios enemigos), pensé que lo recordaría con más facilidad si le acoplaba una melodía cantable. Así lo hice… ¡y resultó! Claro que aquella sólo fue una pequeña trampita mnemotécnica. Pensé entonces si no podía ponerle música a todo un problema matemático. A todo un teorema, digamos. Entonces fui a la biblioteca, desempolvé el Repetto, Linskens y Fesquet, ubiqué el Teorema de Thales, y le puse música. Al día siguiente les canté mi teorema a un grupito de locos lindos del coro de Ingeniería. Me lo festejaron. Así entré en Les Luthiers». [VIDEO]

 «Johann Sebastian Mastropiero dedicó su divertimento matemático, op. 48, el «Teorema de Thales», a la condesa Shortshot, con quien viviera un apasionado romance varias veces, en una carta en la que le dice: «Condesa, nuestro amor se rige por el Teorema de Thales: cuando estamos horizontales y paralelos, las transversales de la pasión nos atraviesan y nuestros segmentos correspondientes resultan maravillosamente proporcionales». 

Tales de Mileto (siglo VI a. C.) : considerado como uno de los siete sabios de Grecia, destacó en las áreas del comercio, filosofía, astronomía y matemáticas. Sus reflexiones trataban sobre la naturaleza y el origen del mundo físico, preguntas como ¿De dónde venían todas las cosas? ¿De qué estaban hechas? ¿Existía algo que pudiera reducir a unidad el variado espectáculo del cosmos?, representaban el esfuerzo por ir más allá de las apariencias hasta descubrir la verdadera naturaleza de las cosas y su primer origen; lo que los griegos le llamaron el arjé. Siempre trataba de que sus respuestas se apoyaran en la razón y fundamentarlas.

Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales

PRIMER TEOREMA DE TALES : Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

\displaystyle \frac{AB}{A'B'}= \frac{BC}{B'C'}= \frac{AC}{A'C'}

Teorema de Tales de Mileto | Superprof

 

SEGUNDO TEOREMA DE TALES: Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

\displaystyle \frac{AB}{AB'}= \frac{AC}{AC'}= \frac{BC}{BC'}Teorema de Tales de Mileto | Superprof

LA HISTORIA DETRAS DEL TEOREMA

Se dice que cuando Thales viajó a Egipto, para aprender matemáticas, inventó un procedimiento para calcular la altura de las pirámide Keops por semejanza, midiendo la sombra de esta y la de su bastón. La proporcionalidad entre la altura de la pirámide y la del bastón, hacían posible calcular la altura deseada. Para hacer este cálculo, supuso que los rayos del sol incidían paralelamente en la tierra, entonces la sombra que generaba la pirámide y su altura  forman un triángulo rectángulo, y la sombra del bastón con su altura otro. Estos dos triángulos rectángulos son semejantes, por lo tanto pudo establecer la siguiente proporción para obtener la altura.

La Pirámide de Keops y el Teorema de Tales – MatematicasCercanas

La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de la Tierra) y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo.

De esta forma, los ángulos de los dos triángulos que observamos en la figura son iguales entre sí y, por tanto, dichos triángulos son semejantes. En dos triángulos semejantes, se cumple que sus lados homólogos son proporcionales.

El método que utilizó Tales de Mileto, el Teorema de Tales, tiene una enorme utilidad puesto que, entre otras muchas cosas, lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto que sea grande sin necesidad de medirlo directamente.


Fuente: matematicascercanas.com