La conjetura de la zona de László Fejes Tóth descifrada

Un problema geométrico de hace 40 años se resuelve al fin

Unos matematicos han descifrado la conjetura de la zona de László Fejes Tóth. Formulada en 1973, dice que si una unidad de esfera está cubierta por varias zonas, su ancho combinado es al menos pi.

La prueba se ha  publicado por el Instituto de Tecnología de Israel y Alexandr Polyanskii del Instituto de Física y Tecnología de Moscú (MIPT) en la revista Geometric and Functional Analysis (editada por Springer).

Jiang, Z. & Polyanskii, A. Geom. Funct. Anal. (2017) 27: 1367. https://doi.org/10.1007/s00039-017-0427-6

La conjetura de la zona de Tóth está muy relacionada con una serie de otros problemas de geometría discreta que se resolvieron en el siglo XX al tratar de cubrir una superficie con tiras.

El primero de ellos fue el llamado problema del tablón, que incluía cubrir un disco con tiras limitadas por líneas paralelas. Alfred Tarski y Henryk Moese ofrecieron una prueba simple que muestra que el ancho combinado de estas tiras no puede superar el diámetro del disco. El problema abordado por los autores implica cubrir una unidad de esfera con zonas especialmente construidas. Las zonas se pueden definir en el espacio métrico geodésico sin recurrir a tablones: una zona de ancho X en la superficie de una esfera unitaria es el conjunto de puntos que no se encuentran a más de X/2 del gran círculo o ecuador, con las distancias entre puntos medidos como los arcos más cortos que los conectan.

En el caso de la conjetura de Fejes Tóth, los matemáticos hipotetizaron que el ancho combinado de las zonas que cubrían completamente la esfera era menor que pi y trataban de llegar a una contradicción.

Los autores han demostrado que es posible formar un conjunto de puntos en el espacio tridimensional de forma que al menos un punto no quede cubierto por los tablones que constituyen las zonas. Así, es posible reducir el número de zonas en el problema inicial sin afectar su ancho combinado. Eventualmente, se identifica un punto en la esfera que no está cubierto por las zonas.

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